在新教材中出现了一类题型，它要求学生通过对题目中所给出的一些“数或图形”的特点，分析其规律，从而给出结论，这就是所谓“探索规律题”。  　　为了帮助教师和学生在教学中能更好地解决此类问题，本人对此类问题作了一些探讨，和老师同学们共同学习。  　　一、“探索规律题”的分类  　　在现行的新教材中，“探索规律题”一般可以分为以下几种类型：第一类是纯文字型题；第二类是数字型题；第三类是几何图形型；第四类是数字与图形结合型；第五类是杂题型。而在教材中所出现的以前几种为主，下面主要对前几种类型进行解法探讨。  　　二、“探索规律题”的解法探讨  　　第一类：文字型题  　　例1：盒子里放了一只球，一位魔术师第一次从盒子里将这只球取出，变成4只球后放回盒子里；第二次从盒子里取出2只球，将每只球各变成4只球后，放进盒子里；……；第十次从盒子里取出10只球，将每只球各变成4只球的放回盒子里。问：这时盒子里共有多少只球？  分析：在此题中，变化的量有以下几个：①操作的次数，即取球的次数；②取出的球数；③每次取出球以后，盒中剩余的球数；④每次放回的球数⑤盒中每次增加的球数；⑥每次操作结束后盒子中的球数。这每一个量都随着操作次数的变化而变化，正因如此，把每次操作的情况列成表格，在表格中的数据上寻找出数据的规律： 　　操作次数  1  2  3 …  10  　　取出球数  1  2  3 …  10  　　盒中剩球数  0  2  7 …  A  　　放回的球数  4  8  12 …  B  　　盒中增加球数  3  6  9 …  C  　　总球数  4  10  19 …  D   　　在上表中，若能把A、B、C、D这四处的数据找到，那么此题也就完成了解题。从表中容易得到结果的是B为4N、C为3N。因此对所要求的D的结果就显而易见了：每次变化后的球的数目分别为：1、1+3=4、10=1+3+6、1+3+6+9=19、1+3+6+9+12=31……1+3+6+9+12+15+18+21+24+27+30=166。即D为166。  　　说明：解决此类问题时，应将每一过程产生的结果用表格把数据一一列出，再观察数据的变化，从变化的数据中寻找规律，从而得出结论。  　　例2：有10个朋友聚会，见面时如果每人和其余的每个人只握一次手，那么10个人共握手多少次？若N个朋友呢？  　　分析：学生必须明白：1）每两个人握一次手；2）甲和乙握手的结果与乙和甲握手的结果只能看成是一种结果。3）若设这10个人为A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10。则A1与其它9个人握9次手；A2则与剩下的8个人握8次手；A3则与剩下的7个人握7次手；……A9与A10握1次手。因此，所有握手的次数就是9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）。  　　说明：解决此类问题时，应将出现的各种结果按一定规律一一给出，从而整理出所有结果来。  　　第二类：数字型题  　　例3：观察下面依次排列的一列数，它的排列规律是什么？请接着写出后面的3个数。你能说出第100个数、第2004个数、第10000个数吗？  　　①2，-2，2，-2，2，-2，……  　　② -1，3，-5，7，-9，11，……  　　③ - ，，- ，，- ……  　　分析：  　　①容易发现这一窜数字是正负相间、绝对值都等于2的数构成的，即第奇数个数字是2，第偶数个数是-2。因此接下来的三个数就是2，-2，2。第100个数是-2，第2004个数是-2，第10000个数是-2。  　　②容易发现这一窜数字除了符号有变化外，数字都是奇数；符号是一负一正相间；（第奇数个数是负的，第偶数个数是正的。因此，符号的确定可以用（-1）N来作为每一个数的系数。而奇数常常用（2N-1）来表示，固此数列的第N个数可以用（-1）N（2N-1）来表示，原数列中的接下来的三个数为：-13，15，-17。第100个数为199，第2004个数为4007，第10000个数为19999。  　　③容易发现此数列的符号特征与第2小题的符号特征一样，可以用（-1）N来表示。而每一个分数可以看成是偶数的倒数，即，因此，此数列中的第N个数可表示为（-1）N ，故，接下来的三个数为，- ，。第100个数为，第2004个数为，第10000个数为。  　　说明：此例中的数字规律学生寻找起来不是很困难的，只须了解一系特殊数列的表示方法就可以了，如奇数数列、偶数数列的表示方法；当然，符号的表示也是要求掌握的。  　　例4：研究下列算式，你会发现什么规律？  　　1×3+1=4=22  　　2×4+1=9=32  　　3×5+1=16=42 　　 4×6+1=25=52  　　请你将找出的规律用公式表示出来：▁▁▁▁▁  　　这个公式是否对全体整数适用？  　　分析：在第一个式子中去寻找“1”；在第二个式子中去寻找“2”； ……；在第N个式子中去寻找“N”。同时，在相应的式子中寻找与“1”、“2”、 ……、“N”有关的数字。若发现式子中的“1”、“2”、 ……、“N”的位置是个固定的位置，则第N个式子中的“N”就在“1”、“2”、 ……、的位置上，相应的“N+1”、“N-1”等其它的与N有关的数字就因规律式子中的具体情况而定了。此题中各式的第一个数据即可看出是N的位置，第二个数据比第一个数据大2，则第二个数据可认为是N+2，第三个数据为常量1，第四个数据即为（N+1）2的结果，而最后的结论则是明确了（N+1）2。因此，找出的规律用公式表达为：  　　N（N+2）+1=N2+2N+1=（N+1）2。  　　例5：观察下列各式：  　　13+23=9=（1+2）2  　　13+23+33=36=（1+2+3）2  　　13+23+33+43=（1+2+3+4）2  　　……  　　13+23+33+43+……+993+1003=？  　　分析：从给出的三个条件式子中不难发现各式的特点：从1开始的几个连续自然数的立方和，等于这几个数的和的平方。学生不难找到第N个式子为：  　　13+23+33+……+N3=（1+2+3+……+N）2。  　　因此，13+23+33+43+……+993+1003=（1+2+3+4+……+99+100）2=50502。  　　（用不完全归纳法来证明第N式的结论并不困难，限于篇幅，这里不给予证明了。）  　　第三类：几何图形型  　　例6：用火柴棒按图中的方式搭图：    　　填写下表： 　　图形编号 ①  ②  ③  ④  ⑤  ⑥  　　火柴棒根数               　　第N个图形需要多少根火柴？  　　分析：在解此类问题时，方法很明确；就是把图形型问题转化为数字型问题，再从数字的特点来寻找出规律来解答。  　　显然，第一个图形中有3根火柴棒；第二个图形中有9根火柴棒；第三个图形中有18根火柴棒；第四个图形中有30根火柴棒；……  　　而3=1×3；9=3×3=（1+2）×3；18=6×3=（1+2+3）×3；30=10×3=（1+2+3+4）×3……  　　因此，第N个图形中的火柴棒的根数为：（1+2+3+……+N）×3根。从而表中的每一个数据就不难填写出来了。  　　类似此题的题目有下面一些题，供大家参考：  　　1、当一条线段上标上一个点时，此时图中共有3条线段，若再标上一个点时，此时图中共有6条线段，……依次类推，则第N个图中共有多少条线段？  　　2、从一个三角形的一个顶点向它的对边引一条线段，此时图中共有3个三角形（如图2）；若再向它的对边引一条线段，此时图中共有6个三角形（如图3）；……依次类推，则第N个图中共有多少个三角形？  　　说明：（1）在数图形的数量时，如能掌握：先单一、后2个复合、再3个复合……依次类推数出相应所有的结论，这样做不易重复和遗漏。  　　知道一些特殊数列的规律和一般表达式，才能较为轻松地完成此类问题的解答。如下表：  　　自然数列  1  2  3  ……  N   　　偶数数列  2  4  6  ……  2N   　　奇数数列  1  3  5  ……  2N-1   　　自然数的平方  1  4  9  ……  N2   　　前N个自然数的和  1  　　（1）  1+2  　　（3）  1+2+3  　　（6）  ……  1+2+3+……+N  　　（）   　　　前N个奇数的和  1  　　（1）  1+3  　　（4）  1+3+5  　　（9）  ……  1+3+5+……+（2N-1）  　　（N2）   　　前N个偶数的和  2  　　（2）  2+4  　　（6）  2+4+6  　　（12）  ……  2+4+6+……+2N  　　N（N+1）   　　为了大家进一步巩固这方面的知识点，以下练习题，供大家参考： 　　观察下列各式，你会发现什么规律？ 　　3×5=15=42-1   　　5×7=35=62-1 　　…… 　　11×13=143=122-1 　　将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来。 　　观察下列各式： 　　A1=5×1-3=2 　　A2=5×2-3=7 　　A3=5×3-3=12 　　A4=5×4-3=17 　　…… 　　根据以上规律，猜测计算AN= 　　当N=100时，A100= 　　你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示，这样捏合拉伸到多少次，就可拉出128根细面条？ 　　小正方体排列层数N 1 2 3 4 5 … N  　　最低层小正方体的个数 1 3 6   …   　　4）如图，正方形的棱长都是1，按图中规律堆放，若依次由上向下称之为第一层、第二层、第三层、……、第N层，请填表：