二次函数知识点总结及相关典型题目 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数. 2.二次函数 的性质 （1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴. （2）函数 的图像与 的符号关系.     ①当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点； ②当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为  . 3.二次函数  的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线. 4.二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中 . 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ . 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.   ① 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下；  相等，抛物线的开口大小、形状相同.   ②平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 . 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法  （1）公式法： ，∴顶点是 ，对称轴是直线 .  （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 .  （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.       用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线 中， 的作用  （1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.  （2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线  ，故：① 时，对称轴为 轴；② （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧；③ （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧.  （3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.       当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）：       ① ，抛物线经过原点; ② ,与 轴交于正半轴；③ ,与 轴交于负半轴.       以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则  . 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：   函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标       当 时 开口向上 当 时 开口向下  （ 轴） （0,0）        （ 轴） (0,  )          ( ,0)          ( , )          ( )  11.用待定系数法求二次函数的解析式  （1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式.  （2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.  （3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： . 12.直线与抛物线的交点  （1） 轴与抛物线 得交点为(0,  ).  （2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).  （3）抛物线与 轴的交点       二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：       ①有两个交点   抛物线与 轴相交；       ②有一个交点（顶点在 轴上）   抛物线与 轴相切；       ③没有交点   抛物线与 轴相离.   （4）平行于 轴的直线与抛物线的交点       同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.   （5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程组   的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时  与 有两个交点; ②方程组只有一组解时  与 只有一个交点；③方程组无解时  与 没有交点.   （6）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为 ，由于 、 是方程 的两个根，故   第二部分 典型习题 １.抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是   （    ） A.（2，－2）     B.（1，－2）       C.（1，－3）     D.（－1，－3） ２.已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（  　） Ａ．ab＞0，c＞0　Ｂ．ab＞0，c＜0　Ｃ．ab＜0，c＞0　　Ｄ．ab＜0，c＜0  　      第２,３题图                   第4题图 ３.二次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） 　　A．a＞0，b＜0，c＞0       B．a＜0，b＜0，c＞0 　　C．a＜0，b＞0，c＜0       D．a＜0，b＞0，c＞0 ４.如图，已知 中，BC=8，BC上的高 ，D为BC上一点， ，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为 ，则 的面积 关于 的函数的图象大致为（   ）     ５.抛物线 与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为     ． 6.已知二次函数 与x轴交点的横坐标为 、 （ ），则对于下列结论：①当x＝－2时，y＝1；②当 时，y＞0；③方程 有两个不相等的实数根 、 ；④ ， ；⑤ ，其中所有正确的结论是　　（只需填写序号）． 7.已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为 . （1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线 上，试确定这条抛物线的解析式； （2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线 的解析式. 8.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为 ，且 是x的二次函数，已知输入值为 ,0, 时, 相应的输出值分别为5, , ． （1）求此二次函数的解析式； （2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值 为正数时输入值 的取值范围. 9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答： 第9题   ⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到   22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解   析式． 10.已知抛物线 与x轴交于A、   B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使得   △ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不 存在，请说明理由． 11.已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.   （1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝ ，试求m的值； （2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 △MNC的面积等于27，试求m的值. 12.已知：抛物线 与x轴的一个交点为A（－1，0）．   　（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； 　（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式； 　（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13.已知二次函数的图象如图所示． 　（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标． 　（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；   　（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； 　（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）． 14.已知二次函数 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数． 15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5 cm，拱高OC＝0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．         　（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域； 　 （2）如果DE与AB的距离OM＝0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据： ，计算结果精确到1米）． 16.已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图．二次函数 （a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．   （1）a、c的符号之间有何关系? （2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证 a、c互为倒数； （3）在（2）的条件下，如果b＝－4， ，求a、c的值． 17.如图，直线 分别与x轴、y轴交于点A、B，⊙E经过原点O及A、B两点． （1）C是⊙E上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD＝∠CBO，求点A、B、C的坐标； （2）求经过O、C、A三点的抛物线的解析式： （3）若延长BC到P，使DP＝2，连结AP，试判断直线PA与⊙E的位置关系，并说明理由．